Kako pronaći područje romba znajući stranu. Područje romba. Koji se geometrijski lik naziva romb

U članku ćemo razmotriti formula površine romba i to ne jedan! Slike pokazuju koliko je lako biti područje romba pomoću jednostavnih formula.

Postoji veliki broj zadataka za pronalaženje jedne ili druge vrijednosti u rombu, a formule o kojima ćemo raspravljati pomoći će nam u tome.
Romb pripada posebnoj vrsti četverokuta, jer su u njemu sve strane jednake. Također predstavlja poseban slučaj paralelograma u kojem su stranice AB=BC=CD=AD jednake.

Napomena: Ako trebate seminarski, kontrolni ili diplomski rad, onda ste na webmath.ru. ili jednostavno slijedite poveznicu za naručivanje seminarskog rada (http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Romb ima sljedeća svojstva:

Romb ima jednake paralelne kutove
- zbrajanje dvaju susjednih kutova jednako je 180 stupnjeva,
- Sjecište dijagonala pod kutom od 90 stupnjeva,
- Simetrala romba, njegove dijagonale padaju,
- Dijagonala na raskrižju je podijeljena na jednake dijelove.

Romb ima sljedeće karakteristike:

Ako je paralelogram u kojem se dijagonale sastaju pod kutom od 90 stupnjeva, onda se zove romb.
- Ako je paralelogram u kojem je simetrala dijagonala, onda se zove romb.
Ako paralelogram ima jednake stranice, to je romb.
- Ako četverokut ima jednake stranice, to je romb.
- Ako je četverokut kojemu je simetrala dijagonala, a dijagonale se sastaju pod kutom od 90 stupnjeva, onda je to romb.
- Ako paralelogram ima iste visine, to je romb.

Iz gornjih znakova možemo zaključiti da su oni potrebni kako bismo naučili kako odvojiti romb od drugih njemu sličnih oblika.

Budući da su u rombu sve stranice jednake perimetar je prema sljedećoj formuli:
P=4a
Formula površine romba

Postoji nekoliko formula. Najjednostavniji se rješava kao zbrajanje površine 2 trokuta, koji se dobivaju dijeljenjem dijagonala.

Pomoću druge formule možete riješiti probleme s poznatim dijagonalama romba. U ovom slučaju, površina romba bit će: zbroj dijagonala podijeljen s dva.

Vrlo jednostavno za riješiti i neće se zaboraviti.

Treća formula se može koristiti kada znate kut između stranica. Znajući to, možete pronaći područje romba, ono će biti jednako kvadratu stranica prema sinusu kuta. Nije važno iz kojeg kuta. jer sinus kuta ima istu vrijednost.

Važno je zapamtiti da se površina mjeri u kvadratima, a opseg u jedinicama. Ove formule vrlo je lako primijeniti u praksi.

Mogu postojati i zadaci za određivanje polumjera kružnice upisane u romb.

Postoji i nekoliko formula za to:

U prvoj formuli radijus se nalazi kao umnožak dijagonala podijeljen s brojem dobivenim zbrajanjem svih stranica. ili jednaka polovini visine (r=h/2).

U drugoj formuli preuzet je princip iz prve, primjenjujemo poznate dijagonale i stranice romba.

U trećoj formuli polumjer dolazi iz visine manjeg trokuta koji proizlazi iz sjecišta.

Unatoč tome što je matematika kraljica znanosti, a aritmetika kraljica matematike, učenicima je geometrija najteža za naučiti. Planimetrija je grana geometrije koja proučava ravninske figure. Jedna od tih figura je romb. Većina problema u rješavanju četverokuta svodi se na pronalaženje njihovih površina. Sistematiziramo poznate formule i razne metode za izračunavanje površine romba.

Romb je paralelogram čije su sve četiri strane jednake. Podsjetimo se da paralelogram ima četiri kuta i četiri u paru paralelne jednake stranice. Kao i svaki četverokut, romb ima niz svojstava koja se svode na sljedeće: kada se križaju dijagonale, one tvore kut jednak 90 stupnjeva (AC ⊥ BD), sjecište ih dijeli na dva jednaka segmenta. Dijagonale romba su ujedno i simetrale njegovih kutova (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD itd.). Slijedi da oni dijele romb na četiri jednaka pravokutna trokuta. Zbroj duljina dijagonala podignutih na drugu potenciju jednak je duljini stranice na drugu potenciju pomnoženoj s 4, tj. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Postoje mnoge metode koje se koriste u planimetriji za izračunavanje površine romba, čija primjena ovisi o izvornim podacima. Ako znate duljinu stranice i bilo kojeg kuta, možete upotrijebiti sljedeću formulu: površina romba jednaka je kvadratu stranice pomnoženom sa sinusom kuta. Iz tečaja trigonometrije poznato je sin (π - α) = sin α, što znači da se sinus bilo kojeg kuta, i oštrog i tupog, može koristiti u izračunima. Poseban slučaj je romb, u kojem su svi kutovi pravi. Ovo je kvadrat. Poznato je da je sinus pravog kuta jednak jedan, pa je površina kvadrata jednaka duljini njegove strane podignute na drugu potenciju.

Ako su duljine stranica nepoznate, koristimo duljine dijagonala. U ovom slučaju, površina romba je polovica proizvoda velike i manje dijagonale.

Uz poznatu duljinu dijagonala i vrijednost bilo kojeg kuta, površina romba određuje se na dva načina. Prvo: površina je polovica kvadrata veće dijagonale, pomnožena s tangensom polovice stupnjeve mjere šiljatog kuta, tj. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), gdje je D velika dijagonala, α šiljasti kut. Ako znate veličinu manje dijagonale, upotrijebite formulu 1/2*d 2 *tg(β/2), gdje je d manja dijagonala, a β tupi kut. Podsjetimo se da je mjera oštrog kuta manja od 90 stupnjeva (mjera pravog kuta), a tupi kut veći od 90 0 .

Površina romba može se pronaći pomoću duljine stranice (podsjetimo se, sve stranice romba su jednake) i visine. Visina je okomica spuštena na suprotnu stranu kuta ili na njegov nastavak. Da bi se baza visine nalazila unutar romba, treba je spustiti iz tupog kuta.

Ponekad je u problemu potrebno pronaći površinu romba, na temelju podataka koji se odnose na upisani krug. U ovom slučaju morate znati njegov radijus. Postoje dvije formule koje se mogu koristiti za izračun. Dakle, da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, možemo udvostručiti umnožak stranice romba i polumjera upisane kružnice. Drugim riječima, trebate pomnožiti promjer upisane kružnice sa stranicom romba. Ako uvjet problema predstavlja vrijednost kuta, tada je površina kvocijent između kvadrata polumjera, pomnoženog s četiri, i sinusa kuta.

Kao što vidite, postoji mnogo načina da se pronađe područje romba. Naravno, da biste zapamtili svaki od njih, trebat će vam strpljenje, pozornost i, naravno, vrijeme. Ali kasnije možete jednostavno odabrati metodu koja odgovara vašem zadatku i uvjeriti se da je geometrija jednostavna.

Romb (od starogrčkog ῥόμβος i od latinskog rombusa "tamburin") je paralelogram koji karakterizira prisutnost stranica iste duljine. U slučaju kada su kutovi 90 stupnjeva (ili pravi kut), takva se geometrijska figura naziva kvadratom. Romb je geometrijska figura, vrsta četverokuta. Može biti i kvadrat i paralelogram.

Podrijetlo pojma

Razgovarajmo malo o povijesti ove figure, koja će vam pomoći da malo otkrijete tajanstvene tajne drevnog svijeta. Nama poznata riječ, koja se često nalazi u školskoj literaturi, “romb”, potječe od starogrčke riječi “tamburin”. U staroj Grčkoj ti su se glazbeni instrumenti izrađivali u obliku romba ili kvadrata (za razliku od modernih instrumenata). Sigurno ste primijetili da kartaško odijelo - tambura - ima rombični oblik. Formiranje ovog odijela datira iz vremena kada se okrugli dijamanti nisu koristili u svakodnevnom životu. Stoga je romb najstarija povijesna figura koju je čovječanstvo izmislilo davno prije pojave kotača.

Po prvi put takvu riječ kao "romb" koristile su tako poznate ličnosti kao što su Heron i aleksandrijski papa.

Svojstva romba

Budući da su stranice romba jedna nasuprot drugoj i po parovima paralelne, romb je nedvojbeno paralelogram (AB || CD, AD || BC).
Rombske dijagonale sijeku se pod pravim kutom (AC ⊥ BD), pa su stoga okomite. Stoga sjecište raspolavlja dijagonale.
Simetrale rombskih kutova su dijagonale romba (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD itd.).
Iz istovjetnosti paralelograma slijedi da je zbroj svih kvadrata dijagonala romba broj kvadrata stranice koji se pomnoži s 4.

Znakovi romba

Romb je u tim slučajevima paralelogram ako ispunjava sljedeće uvjete:

Sve stranice paralelograma su jednake.
Dijagonale romba sijeku se pod pravim kutom, odnosno međusobno su okomite (AC⊥BD). Time je dokazano pravilo triju stranica (stranice su jednake i zaklapaju se pod kutom od 90 stupnjeva).
Dijagonale paralelograma podjednako dijele kutove jer su stranice jednake.

Područje romba

Površina romba jednaka je broju koji je polovina proizvoda svih njegovih dijagonala.
Budući da je romb vrsta paralelograma, površina romba (S) je broj umnoška stranice paralelograma i njegove visine (h).
Osim toga, površina romba može se izračunati pomoću formule koja je umnožak kvadrata stranice romba i sinusa kuta. Sinus kuta je alfa - kut između stranica izvornog romba.
Formula koja je umnožak dvostrukog kuta alfa i polumjera upisane kružnice (r) smatra se sasvim prihvatljivom za ispravno rješenje.

je paralelogram sa svim stranicama jednakim.

Romb s pravim kutovima naziva se kvadrat i smatra se posebnim slučajem romba. Područje romba možete pronaći na različite načine, koristeći sve njegove elemente - strane, dijagonale, visinu. Klasična formula za područje romba je izračun vrijednosti kroz visinu.

Primjer izračuna površine romba pomoću ove formule vrlo je jednostavan. Samo trebate unijeti podatke i izračunati površinu.

Površina romba u smislu dijagonala

Dijagonale romba sijeku se pod pravim kutom i u sjecištu se raspolavljaju.

Formula za površinu romba u smislu dijagonala je proizvod njegovih dijagonala podijeljen s 2.

Razmotrite primjer izračuna površine romba kroz dijagonale. Neka je dan romb s dijagonalama
d1 =5 cm i d2 =4. Pronađimo područje.

Formula za područje romba kroz strane također podrazumijeva upotrebu drugih elemenata. Ako je krug upisan u romb, tada se površina figure može izračunati iz stranica i polumjera:

Primjer izračuna površine romba kroz stranice također je prilično jednostavan. Potrebno je samo izračunati polumjer upisane kružnice. Može se izvesti iz Pitagorinog teorema i formule.

Površine romba preko stranice i kuta

Formula za područje romba kroz stranu i kut koristi se vrlo često.

Razmotrite primjer izračuna površine romba kroz stranu i kut.

Zadatak: Dan je romb čije su dijagonale jednake d1 = 4 cm, d2 = 6 cm.Oštri kut je jednak α = 30°. Pronađite površinu figure s obzirom na stranu i kut.
Prvo, pronađimo stranu romba. Za to koristimo Pitagorin teorem. Znamo da se u točki presjecišta dijagonale raspolavljaju i tvore pravi kut. Posljedično:
Zamijenite vrijednosti:
Sada znamo stranu i kut. Pronađimo područje:

Definicija dijamanta

Romb je paralelogram u kojem su sve stranice međusobno jednake.

Online kalkulator

Ako strane romba tvore pravi kut, tada dobivamo kvadrat.

Dijagonale romba sijeku se pod pravim kutom.
Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova.

Područje romba, kao i područja većine geometrijskih oblika, može se pronaći na nekoliko načina. Razumjet ćemo njihovu bit i razmotriti primjere rješenja.

Formula za površinu romba po strani i visini

Neka nam je dan romb sa stranicom a a a i visine h h h privučeni na ovu stranu. Budući da je romb paralelogram, njegovu površinu nalazimo na isti način kao i površinu paralelograma.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- strana;
h h h- visina spuštena u stranu a a a.

Riješimo jednostavan primjer.

Primjer

Strana romba je 5 (vidi). Visina spuštena na ovu stranu ima duljinu 2 (cm). Pronađite površinu romba S S S.

Riješenje

A=5 a=5 a =5
h=2 h=2 h =2

Koristimo našu formulu i izračunavamo:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10S=a ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (vidi kv.)

Odgovor: 10 cm kvadrata

Formula za površinu romba u smislu dijagonala

Ovdje je sve jednako jednostavno. Samo trebate uzeti polovicu umnoška dijagonala i dobiti površinu.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S=2 1 ⋅ d 1 ⋅ d 2

D 1 , d 2 d_1, d_2 d 1 , d 2 - dijagonale romba.

Primjer

Jedna od dijagonala romba je 7 (vidi), a druga je 2 puta veća od prve. Pronađite površinu figure.

Riješenje

D1=7 d_1=7 d 1 = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1d 2 = 2 ⋅ d 1

Nađimo drugu dijagonalu:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 1 4
Zatim područje:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S=2 1 ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (vidi kv.)

Odgovor: 49 cm kvadratnih

Formula za površinu romba u smislu dviju strana i kuta između njih

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S=a 2 ⋅ sin(α)

A a a- stranica romba;
α\alfa α - bilo koji kut romba.

Primjer

Odredite površinu romba ako je svaka njegova stranica 10 cm, a kut između dviju susjednih stranica 30 stupnjeva.

Riješenje

A=10 a=10 a =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Prema formuli dobivamo:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= pedesetS=a 2 ⋅ sin(α) =1 0 0 ⋅ grijeh (3 0 ∘ ) = 5 0 (vidi kv.)

Odgovor: 50 cm kvadratnih

Formula za površinu romba s polumjerom upisane kružnice i kutom

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S=sin(α)4 ⋅ r 2

R r r- polumjer upisane kružnice u romb;
α\alfa α - bilo koji kut romba.

Primjer

Nađite površinu romba ako je kut između baza 60 stupnjeva, a polumjer upisane kružnice 4 (vidi).

Riješenje

R=4 r=4 r=4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73,9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\približno 73,9S=sin(α)4 ⋅ r 2 = grijeh (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ≈ 7 3 . 9 (vidi kv.)

Odgovor: 73,9 cm kvadratnih