Radionica rješavanja problema iz teorije vjerojatnosti. Suprotan događaj Pavel Ivanovič šeta od točke a stazama parka

Događaj koji se sastoji od onih i samo onih elementarnih ishoda iskustva koji nisu uključeni u A naziva se suprotnost od događaja A.

Nespojivi događaji- događaji koji se ne pojavljuju u jednom iskustvu. Na primjer, suprotni događaji su nespojivi.

Vjerojatnosti suprotnih događaja:

; .
Formula zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje: Vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od dvaju zajedničkih događaja A i B jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti bez vjerojatnosti njihovog zajedničkog događanja. .
Formula za zbrajanje vjerojatnosti za nekompatibilne događaje: Vjerojatnost pojave barem jednog od dva nekompatibilna događaja A i B jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti.

Formula množenja vjerojatnosti za neovisne događaje: Vjerojatnost zajedničkog događanja dvaju neovisnih događaja A i B jednaka je umnošku vjerojatnosti događaja A i B.

Formula množenja vjerojatnosti za ovisne događaje: Vjerojatnost zajedničkog događanja dvaju zavisnih događaja A i B jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog.

Evo dijagrama koji olakšava korištenje formula u rješavanju problema:

Vjerojatnost da nova kemijska olovka loše piše (ili ne piše) je 0,1. Kupac u trgovini bira jednu takvu olovku. Odredite vjerojatnost da ova olovka dobro piše.

Riješenje.
Definirajmo događaj A= (odabrana olovka dobro piše).
Tada je suprotni događaj = (odabrana olovka loše piše).
Iz uvjeta znamo kolika je vjerojatnost suprotnog događaja: .
Koristimo se formulom za vjerojatnost suprotnog događaja: .
Odgovor: 0,9.

10. Na ispitu iz geometrije student dobiva jedno pitanje iz liste ispitnih pitanja. Vjerojatnost da je ovo pitanje upisanog kruga je 0,2. Vjerojatnost da je ovo pitanje paralelograma je 0,15. Ne postoje pitanja vezana uz ove dvije teme u isto vrijeme. Nađite vjerojatnost da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Riješenje.
Definirajmo događaje:
A= (pitanje na temu "Upisana kružnica"),
B= (pitanje na temu "Paralelogram").
Događaji A i B su nekompatibilni, jer prema uvjetu na popisu nema pitanja koja se odnose na ove dvije teme u isto vrijeme.
Događaj C= (pitanje o jednoj od ove dvije teme) je njihova unija: .
Primjenjujemo formulu za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja: .
Odgovor: 0,35.

Od okružnog centra do sela svakodnevno vozi autobus. Vjerojatnost da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 20 putnika je 0,94. Vjerojatnost da će biti manje od 15 putnika je 0,56. Nađite vjerojatnost da će broj putnika biti između 15 i 19.

Riješenje.
Razmotrimo događaje A = "u autobusu je manje od 15 putnika" i B = "u autobusu je između 15 i 19 putnika". Njihov zbroj je događaj A + B = "manje od 20 putnika u autobusu". Događaji A i B su nekompatibilni, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:
P(A + B) = P(A) + P(B).

Zatim, koristeći podatke zadatka, dobivamo: 0,94 = 0,56 + P(B), odakle je P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Odgovor: 0,38.

Riješenje.
Definirajmo događaje
A= (kava će završiti u prvom aparatu),
B= (kava će završiti u drugom aparatu).
Po uvjetu zadatka i .
Pomoću formule za zbrajanje vjerojatnosti nalazimo vjerojatnost događaja
= (kava će završiti u barem jednom od aparata): .
Stoga je vjerojatnost suprotnog događaja (kava će ostati u oba aparata) P=1-0,48=0,52.
Odgovor: 0,52.

Biatlonac puca pet puta u mete. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,8. Nađite vjerojatnost da je biatlonac prva tri puta pogodio mete, a zadnja dva promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotinku.

Riješenje.
U ovom se problemu pretpostavlja da rezultat svakog sljedećeg hica ne ovisi o prethodnima. Dakle, događaji “pogodak na prvom udarcu”, “pogodak na drugom udarcu” itd. nezavisna.
Vjerojatnost svakog pogotka je 0,8. Dakle, vjerojatnost svakog promašaja je 1-0,8=0,2. Koristimo formulu za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja. Dobili smo taj niz
A= (pogodak, pogodak, pogodak, promašaj, promašaj) ima vjerojatnost .
Odgovor: 0,02.

U trgovini su dva automata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan s vjerojatnošću 0,05, neovisno o drugom automatu. Odredite vjerojatnost da je barem jedan automat ispravan.

Riješenje.
Ovaj problem također pretpostavlja neovisnost rada automata.
Odredite vjerojatnost suprotnog događaja
= (oba stroja su neispravna).
Da bismo to učinili, koristimo se formulom za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja: .
Dakle, vjerojatnost događaja A= (barem jedan automat radi) je jednaka .
Odgovor: 0,9975.

15. Tijekom topničke paljbe automatski sustav gađa metu. Ako meta nije uništena, sustav ponovno puca. Hici se ponavljaju sve dok se meta ne uništi. Vjerojatnost uništenja određene mete prvim hicem je 0,4, a svakim sljedećim - 0,6. Koliko će hitaca biti potrebno da se osigura da je vjerojatnost uništenja mete najmanje 0,98?

Riješenje.
Nađimo vjerojatnost suprotnog događaja, a to je da meta neće biti uništena unutar n snimke. Vjerojatnost promašaja kod prvog hica je 0,6, a kod svakog sljedećeg hica 0,4. Ti su događaji neovisni, vjerojatnost njihovog umnoška jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja. Stoga je vjerojatnost nestalog n hitaca jednaka je: . Ostaje pronaći najmanje prirodno rješenje nejednadžbe; . Dosljedno provjeravanje vrijednosti n, jednako 1, 2, 3 itd. nalazimo da je željeno rješenje n=5. Stoga je potrebno napraviti 5 snimaka.

Problem možete riješiti "djelima", računajući vjerojatnost preživljavanja nakon niza uzastopnih promašaja:

P(1) = 0,6.
P(2) = P(1) 0,4 = 0,24.
P(3) = P(2) 0,4 = 0,096.
P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;
P(5) = P(4) 0,4 = 0,015536.
Posljednja vjerojatnost je manja od 0,02, pa je dovoljno pet hitaca u metu.

16. Prije početka odbojkaške utakmice, kapetani momčadi prave ždrijeb kako bi odredili koja će momčad započeti utakmicu. Tim Stator izmjenjuje se igrajući s timovima Rotor, Motor i Starter. Nađite vjerojatnost da će Stator započeti samo prvu i posljednju igru.

Riješenje.
Potrebno je pronaći vjerojatnost umnoška tri događaja: "Stator" započinje prvu igru, ne počinje drugu igru, počinje treću igru. Vjerojatnost stvaranja neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja. Vjerojatnost svakog od njih je 0,5, odakle nalazimo: R=0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Drugi način rješavanja:

Jer Ako se izvlačenje može smatrati bacanjem novčića, onda se problem može riješiti pomoću tehnologije rješavanja problema s novčićima. Izvlačenje je održano tri puta, dakle N=2 3 =8. Dodijelimo elementarnom događaju “Stator počinje igru” vrijednost “Orao”. Tada povoljan ishod odgovara samo kombinaciji "ORI", tj. N(A)=1. Zato

Odgovor: 0,125.

17. U razredu je 21 učenik. Među njima su dvije prijateljice: Anya i Nina. Razred je nasumično podijeljen u 3 grupe od po 7 ljudi. Odredite vjerojatnost da su Anya i Nina u istoj skupini.

Riješenje.
Prijatelji mogu biti zajedno u bilo kojoj od tri grupe. Razmotrimo jednu grupu. Vjerojatnost da će Anya biti u njemu jednaka je . Ako je Anya već u ovoj grupi, tada je vjerojatnost da će Nina biti u istoj grupi. Dakle, vjerojatnost da će oba prijatelja biti u ovoj grupi jednaka je . Ista će biti vjerojatnost da će Anya i Nina biti u drugoj ili trećoj skupini. Ovi događaji su nekompatibilni, tada je željena vjerojatnost jednaka zbroju vjerojatnosti tih događaja:

Odgovor: 0,3.

U sljedećim problemima, prikladno je koristiti stablo vjerojatnosti. Što se tiče zadataka, stablo se gradi izravno u stanju. U drugim zadacima treba izgraditi ovo stablo.

18. Pavel Ivanovič šeta od točke A stazama parka. Na svakom račvanju nasumično odabire sljedeću stazu bez vraćanja.
Dijagram staze prikazan je na slici. Nađite vjerojatnost da će Pavel Ivanovič pogoditi točku G.

Riješenje.
Dijagram staze je graf, odnosno stablo. Rubovi (grane) stabla odgovaraju stazama. Pored svakog ruba pišemo vjerojatnost da će Pavel Ivanovič hodati odgovarajućom stazom. Odabir puta na svakom račvanju događa se slučajno, tako da je vjerojatnost jednako podijeljena među svim mogućnostima. Pretpostavimo da je Pavel Ivanovič došao do vrha C. Iz njega izlaze tri brida CH, CK i CL. Stoga je vjerojatnost da Pavel Ivanovič izabere rub CH 1/3. Slično, možete rasporediti sve vjerojatnosti.

Svaka ruta od početne točke A do bilo koje od krajnjih točaka je elementarni događaj u ovom eksperimentu. Događaji ovdje nisu jednako vjerojatni. Vjerojatnost svakog elementarnog događaja može se pronaći pravilom množenja.
Moramo pronaći vjerojatnost elementarnog događaja
G= (Pavel Ivanovič je došao do točke G).

Ovaj događaj sastoji se u činjenici da je Pavel Ivanovič prošao rutu ABG. Vjerojatnost se nalazi množenjem vjerojatnosti duž bridova AB i BG: .
Odgovor: 0,125.

19. Slika prikazuje labirint. Pauk se uvlači u labirint na točki "Ulaz". Pauk se ne može okrenuti i otpuzati natrag, stoga na svakom račvanju pauk odabire jednu od staza kojom još nije puzao. Uz pretpostavku da je odabir daljnjeg puta čisto slučajan, odredite s kojom vjerojatnošću će pauk doći do izlaza.

Riješenje.

Na svakom od četiri označena račvanja, pauk može izabrati ili put koji vodi do izlaza D ili drugi put s vjerojatnošću 0,5. To su neovisni događaji, vjerojatnost njihovog umnoška (pauk stigne do izlaza D) jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja. Stoga je vjerojatnost da se stigne do izlaza D (0,5) 4 = 0,0625.

Odgovor: 0,0625.

Razmotrimo problem koji generalizira uvjete niza probabilističkih problema koji se rješavaju pomoću stabla vjerojatnosti.

U nekom eksperimentu vjerojatnost događaja A je 0,3. Ako se dogodi događaj A, tada je vjerojatnost događaja C 0,2, inače je vjerojatnost događaja C 0,4. Odredite vjerojatnost događaja C.

Riješenje.
U takvim je problemima prikladno prikazati eksperiment grafički kao stablo vjerojatnosti. Razlika od prethodnih problema je u tome što se vjerojatnosti na rubovima ne dobivaju iz jednakovjerojatnosti, već na drugačiji način.

Označimo cijeli eksperiment slovom (velika omega) i stavimo točku blizu ovog slova - korijena stabla, iz kojeg rastu grane-rebra. Nacrtajmo rub dolje-lijevo od točke do točke A. Događaj A ima vjerojatnost 0,3, pa taj rub označavamo vjerojatnošću 0,3. Suprotan događaj ima vjerojatnost 0,7. Nacrtajte drugi rub do točke.

Ako se dogodio događaj A, tada događaj C po uvjetu ima vjerojatnost 0,2. Stoga iz točke A povučemo rub dolje-lijevo do točke C i potpišemo vjerojatnost. Postupajući na isti način dalje, dovršavamo cijelo stablo (vidi sliku).

Da bismo pronašli vjerojatnost događaja C, trebamo odabrati samo one putove koji vode od korijenske točke do događaja C. Na slici su ti putovi svijetli, a putovi koji ne vode do C prikazani su blijedo. Istaknuti putovi su elementarni događaji koji favoriziraju događaj C.

Sada trebamo izračunati vjerojatnosti odabranih putanja i zbrojiti ih. Koristeći pravila množenja i zbrajanja vjerojatnosti, dobivamo:

.
Odgovor: 0,34.

20. Dvije tvornice iste tvrtke proizvode iste mobitele. Prva tvornica proizvodi 30% svih telefona ove marke, a druga - ostatak telefona. Poznato je da od svih telefona proizvedenih u prvoj tvornici 1% ima skrivene nedostatke, a 1,5% svih telefona proizvedenih u drugoj tvornici. Nađite vjerojatnost da telefon ove marke kupljen u trgovini ima skriveni nedostatak.

Riješenje.
Uvedimo oznake za događaje:
A 1 = (telefon pušten u prodaju u prvoj tvornici),
A 2 = (telefon proizveden u drugoj tvornici),
D= (telefon ima skriveni kvar).

.
Odgovor: 0,0135

21. Poljoprivredno poduzeće kupuje kokošja jaja od dva domaćinstva. Od jaja prve farme 40% su jaja najviše kategorije, a od druge farme 20% jaja najviše kategorije. Ukupno 35% jaja s ove dvije farme dobiva najvišu kategoriju. Odredite vjerojatnost da će jaje kupljeno s ove farme biti s prve farme.

Riješenje.
Ovaj problem je obrnuti od prethodnog. Događaj "jaje ima najvišu kategoriju" zvat će se H. Događaji "jaje je stiglo s prve farme" i "jaje je stiglo s druge farme" nazivat će se A 1 odnosno A 2. Označimo s p željenu vjerojatnost događaja A 1 i nacrtajmo stablo.

Dobivamo: .
Prema uvjetu, ova vrijednost je jednaka 0,35.
zatim,
odakle i, stoga,.
Odgovor: 0,75.

22. Kauboj John pogađa muhu na zidu s vjerojatnošću 0,9 ako puca revolverom sa sačmom. Ako John opali neispucani revolver, pogađa muhu s vjerojatnošću 0,2. Na stolu je 10 revolvera, od kojih su samo 4 ispucana. Kauboj John ugleda muhu na zidu, nasumce zgrabi prvi revolver koji mu naiđe i puca u muhu. Nađite vjerojatnost da John promaši.

Prema uvjetu zadatka napravit ćemo stablo i pronaći potrebne vjerojatnosti.

(ALI)

(NA)

John će promašiti ako: A) zgrabi ispaljeni revolver i promaši njime, ili ako B) zgrabi neispaljeni revolver i promaši njime. Prema formuli uvjetne vjerojatnosti, vjerojatnosti ovih događaja su P(A)=0,4 (1 - 0,9) = 0,04 i P(B)=0,6 (1 - 0,2) = 0, 48. Ti su događaji nekompatibilni, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja. Tada je željena vjerojatnost P=0,04 + 0,48 = 0,52.

Odgovor: 0,52.

23. Svim pacijentima sa sumnjom na hepatitis daje se krvni test. Ako analiza otkrije hepatitis, tada se zove rezultat analize pozitivan. Kod pacijenata s hepatitisom analiza daje pozitivan rezultat s vjerojatnošću od 0,9. Ako pacijent nema hepatitis, tada test može dati lažno pozitivan rezultat s vjerojatnošću od 0,01. Poznato je da 5% pacijenata primljenih sa sumnjom na hepatitis zapravo ima hepatitis. Odredite vjerojatnost da će rezultat testa pacijenta primljenog u kliniku sa sumnjom na hepatitis biti pozitivan.

Prema uvjetu zadatka napravit ćemo stablo i pronaći potrebne vjerojatnosti.

(ALI)

(NA)

Analiza bolesnika može biti pozitivna iz dva razloga: A) bolesnik ima hepatitis, analiza mu je uredna; B) pacijent nema hepatitis, njegova analiza je lažna. To su nekompatibilni događaji, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja. Imamo: 4. srpnja P(A) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128;
P(B) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128;
P(C) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008;
P(D) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128.

Ovi događaji su nekompatibilni, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih događaja:
P = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

"Fluktuacija točke" - Srednja situacija. Gibanje je prigušeno i aperiodično. 5. Linearne oscilacije. 7. Slobodne vibracije s viskoznim otporom. Opće rješenje \u003d opće rješenje + posebno rješenje homogenog y-i nehomogenog y-i. 1. Primjeri oscilacija. Harmonijska pokretačka sila. Slobodne vibracije uzrokovane pokretačkom silom.

"Derivacija funkcije u točki" - Koja je vrijednost derivacije funkcije y \u003d f (x) u točki B? Na slici je prikazan graf derivacije y= f‘(x) funkcije f(x) definirane na intervalu (-3;3). Koju vrijednost poprima derivacija funkcija y= f(x) u točki A? Koliki kut čini tangenta na graf funkcije s pozitivnim smjerom osi x?

„Kritične točke funkcije“ – Među kritičnim točkama postoje točke ekstrema. Nužan uvjet za ekstrem. Kritične točke funkcije Točke ekstrema. Definicija. Ekstremne točke (ponavljanje). Ali, ako je f "(x0) = 0, tada nije nužno da će točka x0 biti točka ekstrema. Primjeri. Kritične točke.

"Koordinate točke" - Simetrija točke u odnosu na apscisnu os (Ox). Tijelo guštera je simetrično oko ravne linije. Ljudsko tijelo ima os simetrije. U prirodi se i građa životinjskih tijela pokorava zakonima simetrije. Točka B (3; 6) je simetrična točki B (3; - 6), koja se nalazi ispod x-osi. Zaključak: Semirichnik je rijetka biljka, ali sedam latica cvijeta ima bilateralnu simetriju.

"Južnoafrički nacionalni parkovi" - "Putovanje u Južnoafričku Republiku". U blizini je poznati vodopad Tugela (948 m) od pet kaskada. Treći dan Nacionalni parkovi i rezervati. Prvi dan Glavni grad Južne Afrike. Cijena hotelskih soba počinje od 400 USD. Duga svijetli u oblaku vodene prašine koji se uzdiže 100 metara.

"Četiri izvanredne točke trokuta" - zove se okomica spuštena s vrha trokuta na liniju koja sadrži suprotnu stranicu. Visina. Medijan trokuta. Zadatak broj 1. Visina trokuta. Odsječak AN je okomica spuštena iz točke A na pravac a, ako. Odsječak koji spaja vrh sa središtem suprotne stranice naziva se.

Opis prezentacije na pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

2 slajd

Opis slajda:

Dva identična automata prodaju kavu u trgovačkom centru. Vjerojatnost da će aparat ostati bez kave do kraja dana je 0,3. Vjerojatnost da će oba aparata ostati bez kave je 0,12. Nađite vjerojatnost da će do kraja dana u oba automata ostati kave. A - kava će završiti u prvom aparatu; B - kava će završiti u drugom aparatu. Uvjetom zadatka napominjemo da ovi događaji nisu neovisni, inače je vjerojatnost suprotnog događaja “kava će ostati u oba aparata” jednaka Odgovor: 0,52

3 slajd

Opis slajda:

U Vilinskoj zemlji postoje dvije vrste vremena: dobro i izvrsno, a vrijeme, nakon što se ujutro ustaloži, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će s vjerojatnošću od 0,8 vrijeme sutra biti isto kao danas. Danas je 3. srpnja, vrijeme u zemlji bajki je lijepo. Odredite vjerojatnost da će 6. srpnja u Magiclandu biti izvrsno vrijeme. 4 opcije: XXO, XOO, OXO, LLC 0,8+ +0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392 Odgovor: 0,392

4 slajd

Opis slajda:

Jaje kupljeno s farme 1 - jaje kupljeno s farme 2 P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35 0,2p=0,15 p=0,75 Odgovor: 0,75 D-jaje Poljoprivredno poduzeće najviše kategorije kupuje kokošja jaja u dva domaćinstva. 40% jaja s prve farme su jaja najviše kategorije, a s druge farme 20% jaja najviše kategorije. Ukupno 35% jaja dobiva najvišu kategoriju. Nađite vjerojatnost da će jaje kupljeno s ove farme biti s prve farme.

5 slajd

Opis slajda:

Dvije tvornice iste tvrtke proizvode iste mobilne telefone. Prva tvornica proizvodi 30% svih telefona ove marke, a druga - ostatak telefona.Poznato je da od svih telefona koje proizvodi prva tvornica 1% ima skrivene nedostatke, a oni koje proizvodi druga tvornica imaju 1,5%.Nađite vjerojatnost da kupljeni u trgovini telefon ove marke ima skriveni nedostatak. - telefon je proizveden u tvornici 1 - telefon je proizveden u tvornici 2 D - telefon ima kvar 0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135

6 slajd

Opis slajda:

Stakla proizvedena u 1 tvornici stakla proizvedene u 2 tvornice D-stakla su neispravna 0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019 Odgovor: 0,019 Dvije tvornice proizvode ista stakla za prednja svjetla automobila Prva tvornica proizvodi 45% ovih stakala , drugi - 55%.Prva tvornica proizvodi 3% neispravnih naočala, autorova - 1%.Nađite vjerojatnost da će čaša slučajno kupljena u trgovini biti neispravna.

7 slajd

Opis slajda:

Pavel Ivanovič šeta od točke A stazama parka. Na svakom račvanju nasumično odabire sljedeću stazu bez vraćanja. Dijagram staze prikazan je na slici. Odredite vjerojatnost da će Pavel Ivanovič pogoditi točku G. Odgovor: 0,125

8 slajd

Opis slajda:

Pavel Ivanovič šeta od točke A stazama parka. Na svakom račvanju nasumično odabire sljedeću stazu bez vraćanja. Dijagram staze prikazan je na slici. Neki od putova vode do sela S, drugi - do polja F ili do močvare M. Nađite vjerojatnost da Pavel Ivanovič zaluta u močvaru.

9 slajd

Opis slajda:

Događaj A - u autobusu je manje od 15 putnika Događaj B - u autobusu je od 15 do 19 putnika Događaj A + B - u autobusu je manje od 20 putnika Događaji A i B su nekompatibilni, vjerojatnost njihovog zbroj je jednak zbroju vjerojatnosti ovih događaja: P(A + B) = P(A) + P(B). P (B) \u003d 0,94 - 0,56 \u003d 0,38. Odgovor: 0,38 Iz okružnog centra do sela svakodnevno vozi autobus. Vjerojatnost da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 20 putnika je 0,94. Vjerojatnost da će biti manje od 15 putnika je 0,56. Nađi vjerojatnost da će broj putnika biti od 15 do 19.

10 slajd

Opis slajda:

P(A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) = P (A) + P (B) P (A) = 0,97-0,89 = 0,08 Odgovor: 0,08 Vjerojatnost da će novo električno kuhalo trajati više od godinu dana je 0,97.Vjerojatnost da će trajati više od dvije godine je 0,89.Nađite vjerojatnost da će trajati manje od dvije godine, ali više od godinu dana. Događaj A - kuhalo će trajati više od godinu dana, ali manje od dvije godine Događaj B - kuhalo će trajati više od dvije godine Događaj C - kuhalo će trajati točno dvije godine A + B + C - kuhalo će trajati više od godina Događaji A, B i C nisu spojeni, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja. dvije godine - strogo isti dan, sat i sekunda - jednake su nuli.

11 slajd

Opis slajda:

Događaj A - učenik će riješiti 11 zadataka Događaj B - učenik će riješiti više od 11 zadataka Događaj A + B - učenik će riješiti više od 10 zadataka R(A)=0,74-0,67=0,07 test iz biologije studentO. točno riješi više od 11 zadataka je 0,67 Vjerojatnost da O. točno riješi više od 10 zadataka je 0,74 Odredite vjerojatnost da O. točno riješi točno 11 zadataka. Događaji A i Izvan, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja: P(A + B) = P(A) + P(B).

12 slajd

Opis slajda:

1-0,965 = 0,035 Odgovor: 0,035 Kod proizvodnje ležajeva promjera 67 mm, vjerojatnost da će se promjer razlikovati od zadanog za najviše 0,01 mm je 0,965 Nađite vjerojatnost da će slučajni ležaj imati promjer manji od 66,99 mm ili više od 67,01 mm.

13 slajd

Opis slajda:

Događaj A – John će pucati revolverom Događaj B – John će pucati revolverom p(A)=0,4 p(B)=0,6 0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52 Odgovor: 0,52 Kauboj John udara muhu o zid s vjerojatnošću 0,9 ako puca sa sačmanim revolverom. Ako John puca s vanjske strane napucanog revolvera, tada pogađa letvicu s vjerojatnošću 0,2. Na stolu je 10 revolvera, samo 4 su upucana. Kauboj John vidi muhu na zidu, nasumce zgrabi prvi revolver koji mu se nađe i puca u muhu. Nađite vjerojatnost da John promaši.

SLAJD 4

Pogledajte sadržaj dokumenta
"Kako riješiti probleme vjerojatnosti"

Mitrofanova Snezhana Viktorovna, MBOU "Verkhovskaya School" Vologda Region

Tema: Radionica rješavanja problema iz teorije vjerojatnosti.

SLAJD 1

Kako riješiti probleme vjerojatnosti?

Vjerojatnost. Što je ovo?

SLAJD 2

Teorija vjerojatnosti, kao što ime govori, bavi se vjerojatnostima. Okruženi smo mnogim stvarima i pojavama o kojima je, koliko god znanost bila napredna, nemoguće dati točna predviđanja. Ne znamo koju ćemo kartu nasumično izvući iz špila niti koliko će dana padati kiša u svibnju, ali s nekim dodatnim informacijama možemo predvidjeti i izračunati vjerojatnosti ovih slučajnih događaja.

Dakle, suočeni smo s osnovnim pojmom slučajni događaj- to su pojave čije se ponašanje ne može predvidjeti ili se radi o eksperimentu čiji se rezultat ne može unaprijed izračunati itd. To su vjerojatnosti događaja koje se izračunavaju u tipičnim USE problemima.

SLAJD 2 (PONOVO JEDAN)

Vjerojatnost- ovo je neka, strogo govoreći, funkcija koja uzima vrijednosti od 0 do 1 i karakterizira dati slučajni događaj.

Zatim koristimo uzorak dijagrama, koji bi se trebao koristiti za rješavanje standardnih problema učenja za izračunavanje vjerojatnosti slučajnog događaja,

SLAJD 3

a onda ću u nastavku primjerima ilustrirati njegovu primjenu.

Pronađite glavno pitanje zadatka (pronađite koji je ishod zadatka, pronađite povoljne ishode.)

Odaberite formulu (ili nekoliko) za rješenje.

SLAJD 4

ZAŠTO PAŽLJIVO ČITAMO ZADATKE?

Od ponuđenih 20 listića na ispitu, student može odgovoriti samo na 17. Kolika je vjerojatnost da će student moći odgovoriti na nasumično odabranom listiću?

Od ponuđenih 20 listića na ispitu, student može odgovoriti samo na 17. Kolika je vjerojatnost da student neće moći odgovoriti na nasumično odabranom listiću?

SLAJD 5,6,7

SLAJD 8.9

SLAJD 10

Zadatak 1.

SLAJD 11

Riješenje.

SLAJD 12

0,5 0,25= 0,125

SLAJD 13

Zadatak 2.

SLAJD 14

Riješenje.

P(M)=P(ABD)+P(ABE)+P(ACF)

SLAJD 15

SLAJD 16

SLAJD 17

SLAJD 18

SLAJD 19, 20

Zadatak 4.

Pogledajte sadržaj prezentacije
"Prezentacija"

Kako riješiti probleme

na vjerojatnost?

Mitrofanova Snezhana Viktorovna,

profesorica matematike

MBOU "Škola Verkhovskaya"

regija Vologda

Vjerojatnost.Što je to ?

Vjerojatnost je funkcija koja uzima vrijednosti od 0 do 1.

Približna shema , koji bi se trebao koristiti za rješavanje standardnih obrazovnih problema za izračunavanje vjerojatnosti:

Pronađite glavno pitanje zadatka

Odabire se formula (ili nekoliko njih) za rješenje.

Od ponuđenih 20 listića na ispitu, student može odgovoriti samo na 17. Kolika je vjerojatnost da će student moći odgovoriti na nasumično odabranom listiću?

Od ponuđenih 20 listića na ispitu, student može odgovoriti samo na 17. Kolika je vjerojatnost da student neće moći odgovoriti na nasumično odabranom listiću?

Vjerojatnost razvoja događaja je omjer broja ishoda koji pogoduju njegovom nastanku prema broju svih ishoda (nespojivih, jedino mogućih i jednako mogućih):

Problemi koji se rješavaju konstruiranjem stabla vjerojatnosti.

Zadatak 1. Pavel Ivanovič šeta od točke A stazama parka. Na svakom račvanju nasumično odabire sljedeću stazu bez vraćanja. Dijagram staze prikazan je na slici. Nađite vjerojatnost da će Pavel Ivanovič pogoditi točku G.

Riješenje.

Pored svakog ruba pišemo vjerojatnost da će Pavel Ivanovič hodati odgovarajućom stazom. Odabir puta na svakom račvanju događa se slučajno, tako da je vjerojatnost jednako podijeljena među svim mogućnostima.

Ovaj događaj sastoji se u činjenici da je Pavel Ivanovič prošao rutu ABG. Vjerojatnost se nalazi množenjem vjerojatnosti duž bridova AB i BG

0,5 0,25 = 0,125

Zadatak 2.

Pavel Ivanovič šeta od točke A stazama parka. Na svakom račvanju nasumično odabire sljedeću stazu bez vraćanja. Dijagram staze prikazan je na slici. Neki od puteva vode do sela S, drugi - do polja F ili do močvare M. Odredite vjerojatnost da Pavel Ivanovič zaluta u močvaru.

Riješenje. Do močvare vode tri puta. Označavamo vrhove na tim rutama i ispisujemo odgovarajuće vjerojatnosti na bridovima duž tih ruta. Ostale rute neće biti razmatrane.

Vjerojatnost događaja (Pavel Ivanovič će pasti u močvaru) jednaka je

P(M)=P(ABD)+P(ABE)+P(ACF)

Odgovor: 0,125

Zadatak 4. Dvije tvornice iste tvrtke proizvode iste mobilne telefone.

Prva tvornica proizvodi 30% svih telefona ove marke, a druga - ostatak telefona.

Poznato je da od svih telefona proizvedenih u prvoj tvornici 1% ima skrivene nedostatke, a 1,5% svih telefona proizvedenih u drugoj tvornici.

Nađite vjerojatnost da telefon ove marke kupljen u trgovini ima skriveni nedostatak.

Riješenje. Uvedimo oznake za događaje: A 1 = (telefon je pušten u prodaju u prvoj tvornici), A 2 = (telefon je pušten u prodaju u drugoj tvornici), D = (telefon ima skriveni kvar). Prema uvjetu zadatka napravit ćemo stablo i pronaći potrebne vjerojatnosti.

P(D)=0,3 *0,01+0,7 *0,015=0,003+0,0105=0,0135.

Srednja škola MBOU Ostankino

Priprema za ispit

Rješavanje problema iz teorije vjerojatnosti

A - kava će završiti u prvom aparatu; B - kava će završiti u drugom aparatu.

Prema zadatku,

imajte na umu da ti događaji inače nisu neovisni

Vjerojatnost suprotnog događaja "kava će ostati u oba aparata" jednaka je

4 opcije: XXO, XOO, OXO, OOO

P(HHO) + P(HOO) + P(OHO) + P(OOO)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+

0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392

Odgovor: 0,392

Jaje kupljeno od 1 farme

Jaja kupljena od 2 farme

P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35

Telefon pušten

u 1 tvornici

Telefon pušten

u 2 tvornice

D-phone ima kvar

0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135

Odgovor: 0,0135

Naočale puštene

1 tvornica

naočale puštene

2 tvornica

D-naočale su neispravne

0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019

Odgovor: 0,019

Pavel Ivanovič šeta od točke A stazama parka. Na svakom račvanju nasumično odabire sljedeću stazu bez vraćanja. Dijagram staze prikazan je na slici. Nađite vjerojatnost da će Pavel Ivanovič pogoditi točku G

Odgovor: 0,125

Događaj A - u autobusu je manje od 15 putnika

Događaj B - u autobusu od 15 do 19 putnika

Događaj A + B - u autobusu je manje od 20 putnika

Događaji A i B su nekompatibilni, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:

P(A + B) = P(A) + P(B).

P (B) \u003d 0,94 - 0,56 \u003d 0,38.

P(A + B+ C) = P(A) + P(B)+ P(C)= P(A) + P(B)

P(A)=0,97-0,89=0,08

Događaj A - učenik će riješiti 11 zadataka

Događaj B - učenik će riješiti više od 11 zadataka

Događaj A + B - učenik će riješiti više od 10 zadataka

Odgovor: 0,035

Događaj A – John će uzeti

hitac revolver

Događaj B – John će uzeti

neispaljeni revolver

p(A)=0,4 p(B)=0,6

0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52

Događaj A-pacijent ima hepatitis

Događaj B - bolesnik nema hepatitis

0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545

Odgovor: 0,0545

0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0296

Odgovor: 0,0296

Prije početka nogometne utakmice sudac baca novčić kako bi odredio koja će ekipa započeti loptu. Momčad Fizičara igra tri utakmice s različitim ekipama. Nađite vjerojatnost da u tim igrama "Fizičar" dobije na ždrijebu točno dva puta

Pretvori u novčiće Budući da postoje 3 podudaranja, novčić se baca tri puta.

Događaj A - orao će ispasti 2 puta (u igrama "Fizičar" će osvojiti ždrijeb točno dva puta)

Cases LLC, ORO, ROO

Odgovor: 0,375

Hvala vam na pažnji