Kaip rasti rombo plotą žinant pusę. Rombo sritis. Kokia geometrinė figūra vadinama rombu

Straipsnyje mes apsvarstysime rombo ploto formulė ir ne vienas! Nuotraukos rodo, kaip lengva būti rombo plotas naudojant paprastas formules.

Užduočių, kaip rasti vieną ar kitą reikšmę rombe, yra labai daug, o formulės, kurios bus aptartos, mums padės.
Rombas priklauso atskiram keturkampio tipui, nes jame visos kraštinės yra lygios. Jis taip pat parodo specialų lygiagretainio atvejį, kai kraštinės AB=BC=CD=AD yra lygios.

Pastaba: jei jums reikia kursinio darbo, kontrolinio ar diplominio darbo, tuomet esate webmath.ru. arba tiesiog spustelėkite nuorodą, kad užsisakytumėte kursinį darbą (http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Rombas turi šias savybes:

Rombas turi lygiagrečius kampus
- dviejų gretimų kampų pridėjimas yra lygus 180 laipsnių,
- įstrižainių susikirtimas 90 laipsnių kampu,
- Rombo bisektoriniai, jo įstrižainės krenta,
- Įstrižainė sankryžoje yra padalinta į lygias dalis.

Rombas turi šias savybes:

Jei lygiagretainis, kuriame įstrižainės susikerta 90 laipsnių kampu, tada jis vadinamas rombu.
- Jei lygiagretainis, kurio bisektorius yra įstrižainė, tada jis vadinamas rombu.
Jei lygiagretainis turi lygias kraštines, tai yra rombas.
- Jei keturkampis turi lygias kraštines, tai yra rombas.
- Jei keturkampis, kurio pusė yra įstrižainė, o įstrižainės susikerta 90 laipsnių kampu, tai yra rombas.
- Jei lygiagretainis turi vienodus aukščius, tai yra rombas.

Iš aukščiau pateiktų ženklų galime daryti išvadą, kad jie reikalingi norint išmokti atskirti rombą nuo kitų panašių į jį figūrų.

Kadangi rombo visos pusės yra vienodos perimetras yra pagal šią formulę:
P=4a
Rombo ploto formulė

Yra kelios formulės. Paprasčiausias išspręstas pridedant 2 trikampių plotą, kuris gaunamas padalijus įstrižaines.

Naudodami antrąją formulę galite išspręsti problemas su žinomomis rombo įstrižainėmis. Šiuo atveju rombo plotas bus: įstrižainių suma, padalyta iš dviejų.

Labai lengva išspręsti ir nebus pamiršta.

Trečioji formulė gali būti naudojama, kai žinote kampą tarp šonų. Žinodami tai, galite rasti rombo plotą, kuris bus lygus kampo sinuso kraštinių kvadratui. Nesvarbu, kokiu kampu. nes kampo sinusas turi tą pačią reikšmę.

Svarbu atsiminti, kad plotas matuojamas kvadratais, o perimetras – vienetais. Šias formules labai lengva pritaikyti praktikoje.

Taip pat gali būti užduočių, kaip rasti spindulį išilgai rombo įbrėžto apskritimo.

Tam taip pat yra keletas formulių:

Pirmoje formulėje spindulys randamas kaip įstrižainių sandauga, padalinta iš skaičiaus, gauto sudėjus visas puses. arba lygi pusei aukščio (r=h/2).

Antroje formulėje imamas principas iš pirmosios, taikome žinome rombo įstrižaines ir kraštines.

Trečiojoje formulėje spindulys gaunamas iš mažesnio trikampio aukščio, susidarančio dėl susikirtimo.

Nepaisant to, kad matematika yra mokslų karalienė, o aritmetika – matematikos karalienė, geometriją moksleiviams sunkiausia išmokti. Planimetrija yra geometrijos šaka, tirianti plokštumos figūras. Viena iš šių figūrų yra rombas. Dauguma problemų sprendžiant keturkampius kyla dėl jų sričių suradimo. Susisteminame žinomas formules ir įvairius rombo ploto skaičiavimo metodus.

Rombas yra lygiagretainis, kurio visos keturios kraštinės yra lygios. Prisiminkite, kad lygiagretainis turi keturis kampus ir keturias lygiagrečias lygias puses. Kaip ir bet kuris keturkampis, rombas turi keletą savybių, kurios susideda iš šių savybių: kertant įstrižaines jie sudaro 90 laipsnių kampą (AC ⊥ BD), susikirtimo taškas padalija kiekvieną į dvi lygias atkarpas. Rombo įstrižainės taip pat yra jo kampų pusiausvyros (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD ir kt.). Iš to išplaukia, kad jie padalija rombą į keturis vienodus stačiuosius trikampius. Įstrižainių, pakeltų iki antrojo laipsnio, ilgių suma lygi kraštinės ilgiui į antrąjį laipsnį, padaugintam iš 4, t.y. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Planimetrijoje naudojama daugybė rombo ploto skaičiavimo metodų, kurių taikymas priklauso nuo šaltinio duomenų. Jei žinote kraštinės ilgį ir bet kurį kampą, galite naudoti tokią formulę: rombo plotas yra lygus kraštinės kvadratui, padaugintam iš kampo sinuso. Iš trigonometrijos kurso žinoma, kad sin (π - α) = sin α, vadinasi, skaičiuojant gali būti naudojamas bet kurio kampo sinusas, tiek smailus, tiek bukas. Ypatingas atvejis yra rombas, kuriame visi kampai yra teisingi. Tai yra kvadratas. Yra žinoma, kad stačiojo kampo sinusas yra lygus vienetui, taigi kvadrato plotas lygus jo kraštinės, pakeltos į antrą laipsnį, ilgiui.

Jei kraštinių ilgis nežinomas, naudojame įstrižainių ilgį. Šiuo atveju rombo plotas yra pusė didžiųjų ir mažųjų įstrižainių sandaugos.

Esant žinomam įstrižainių ilgiui ir bet kurio kampo vertei, rombo plotas nustatomas dviem būdais. Pirma: plotas yra pusė didesnės įstrižainės kvadrato, padauginta iš pusės smailiojo kampo laipsnio matavimo liestinės, t.y. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), kur D yra didelė įstrižainė, α yra smailusis kampas. Jei žinote mažesnės įstrižainės dydį, naudokite formulę 1/2*d 2 *tg(β/2), kur d yra mažesnė įstrižainė, o β yra bukas kampas. Prisiminkite, kad smailiojo kampo matas yra mažesnis nei 90 laipsnių (stačiojo kampo matas), o bukas kampas yra atitinkamai didesnis nei 90 0 .

Rombo plotą galima rasti naudojant kraštinės ilgį (prisiminkime, visos rombo pusės yra lygios) ir aukštį. Aukštis yra statmenas, numestas priešingoje kampo pusėje arba jo tęsinyje. Kad aukščio pagrindas būtų rombo viduje, jį reikia nuleisti buku kampu.

Kartais užduotyje reikia rasti rombo plotą, remiantis duomenimis, susijusiais su įrašytu apskritimu. Tokiu atveju turite žinoti jo spindulį. Skaičiuojant galima naudoti dvi formules. Taigi, norėdami atsakyti į pateiktą klausimą, galime padvigubinti rombo kraštinės ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugą. Kitaip tariant, įbrėžto apskritimo skersmenį reikia padauginti iš rombo pusės. Jei kampo reikšmė pateikiama uždavinio sąlygoje, tai plotas yra per koeficientą tarp spindulio kvadrato, padauginto iš keturių, ir kampo sinuso.

Kaip matote, yra daug būdų, kaip rasti rombo plotą. Žinoma, norint prisiminti kiekvieną iš jų, prireiks kantrybės, atidumo ir, žinoma, laiko. Tačiau vėliau galėsite lengvai pasirinkti metodą, atitinkantį jūsų užduotį, ir įsitikinti, kad geometrija yra paprasta.

Rombas (iš senovės graikų ῥόμβος ir iš lotynų rombus "tamburinas") yra lygiagretainis, kuriam būdingos to paties ilgio kraštinės. Tuo atveju, kai kampai yra 90 laipsnių (arba stačiu kampu), tokia geometrinė figūra vadinama kvadratu. Rombas yra geometrinė figūra, savotiški keturkampiai. Tai gali būti ir kvadratas, ir lygiagretainis.

Termino kilmė

Šiek tiek pakalbėkime apie šios figūros istoriją, kuri padės šiek tiek atskleisti paslaptingas senovės pasaulio paslaptis. Mums pažįstamas žodis, dažnai sutinkamas mokyklinėje literatūroje, „rombas“, kilęs iš senovės graikų žodžio „tamburinas“. Senovės Graikijoje šie muzikos instrumentai buvo gaminami rombo arba kvadrato pavidalu (priešingai nei šiuolaikiniai įrenginiai). Tikrai pastebėjote, kad kortos kostiumas – tamburinas – yra rombo formos. Šio kostiumo formavimas siekia tuos laikus, kai apvalūs deimantai nebuvo naudojami kasdieniame gyvenime. Todėl rombas yra seniausia istorinė figūra, kurią žmonija išrado dar gerokai prieš rato atsiradimą.

Pirmą kartą tokį žodį kaip „rombas“ pavartojo tokios garsios asmenybės kaip Heronas ir Aleksandrijos popiežius.

Rombo savybės

Kadangi rombo kraštinės yra priešingos viena kitai ir poromis lygiagrečios, tai neabejotinai rombas yra lygiagretainis (AB || CD, AD || BC).
Rombinės įstrižainės susikerta stačiu kampu (AC ⊥ BD), todėl yra statmenos. Todėl sankirta dalija įstrižaines.
Rombinių kampų pusiausvyros yra rombo įstrižainės (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD ir kt.).
Iš lygiagretainių tapatumo matyti, kad visų rombo įstrižainių kvadratų suma yra kraštinės kvadrato skaičius, padaugintas iš 4.

Rombo ženklai

Tais atvejais rombas yra lygiagretainis, kai jis atitinka šias sąlygas:

Visos lygiagretainio kraštinės yra lygios.
Rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai yra, yra statmenos viena kitai (AC⊥BD). Tai įrodo trijų kraštinių taisyklę (kraštinės yra lygios ir yra 90 laipsnių kampu).
Lygiagretainio įstrižainės vienodai dalijasi kampais, nes kraštinės yra lygios.

Rombo sritis

Rombo plotas yra lygus skaičiui, kuris yra pusė visų jo įstrižainių sandaugos.
Kadangi rombas yra lygiagretainio rūšis, rombo plotas (S) yra lygiagretainio kraštinės sandaugos skaičius ir jo aukštis (h).
Be to, rombo plotą galima apskaičiuoti naudojant formulę, kuri yra rombo kvadrato kraštinės ir kampo sinuso sandauga. Kampo sinusas yra alfa – kampas tarp pradinio rombo kraštinių.
Formulė, kuri yra dvigubo kampo alfa ir įbrėžto apskritimo spindulio (r) sandauga, laikoma gana priimtina teisingam sprendimui.

yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios.

Rombas su stačiais kampais vadinamas kvadratu ir laikomas ypatingu rombo atveju. Rombo plotą galite rasti įvairiais būdais, naudodami visus jo elementus – šonus, įstrižaines, aukštį. Klasikinė rombo ploto formulė yra vertės apskaičiavimas per aukštį.

Rombo ploto apskaičiavimo pagal šią formulę pavyzdys yra labai paprastas. Jums tereikia prijungti duomenis ir apskaičiuoti plotą.

Rombo plotas, išreikštas įstrižainėmis

Rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu, o susikirtimo taške dalijasi per pusę.

Rombo ploto formulė, išreikšta įstrižainėmis, yra jo įstrižainių, padalytų iš 2, sandauga.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti rombo plotą per įstrižaines. Tegu pateikiamas rombas su įstrižainėmis
d1 =5 cm ir d2 =4. Raskime vietovę.

Rombo ploto per šonus formulė taip pat reiškia kitų elementų naudojimą. Jei apskritimas įrašytas į rombą, tada figūros plotą galima apskaičiuoti iš šonų ir jo spindulio:

Pavyzdys, kaip apskaičiuoti rombo plotą per šonus, taip pat yra gana paprastas. Reikia tik apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulį. Jis gali būti išvestas iš Pitagoro teoremos ir formulės.

Rombo plotai skersai šono ir kampo

Labai dažnai naudojama rombo ploto per kraštą ir kampą formulė.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti rombo plotą per kraštą ir kampą.

Užduotis: Duotas rombas, kurio įstrižainės d1 =4 cm, d2 =6 cm Smailusis kampas α = 30°. Raskite figūros plotą pagal kraštinę ir kampą.
Pirmiausia suraskime rombo pusę. Tam naudojame Pitagoro teoremą. Žinome, kad susikirtimo taške įstrižainės pasiskirsto į pusę ir sudaro stačią kampą. Vadinasi:
Pakeiskite reikšmes:
Dabar žinome pusę ir kampą. Raskime sritį:

Deimantų apibrėžimas

Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios viena kitai.

Internetinis skaičiuotuvas

Jei rombo kraštinės sudaro stačią kampą, tada gauname kvadratas.

Rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu.
Rombo įstrižainės yra jo kampų pusiausvyros.

Rombo plotą, kaip ir daugumos geometrinių formų plotus, galima rasti keliais būdais. Suvoksime jų esmę ir apsvarstysime sprendimų pavyzdžius.

Rombo ploto formulė pagal šoną ir aukštį

Tegu mums duotas rombas su šonu a a a ir aukštis h val h patrauktas į šią pusę. Kadangi rombas yra lygiagretainis, jo plotą randame taip pat, kaip ir lygiagretainio plotą.

S = a ⋅ h S = a\cdot h S =a ⋅h

A a a- šonas;
h val h- aukštis nuleistas į šoną a a a.

Išspręskime paprastą pavyzdį.

Pavyzdys

Rombo kraštinė yra 5 (žr.). Aukštis, nuleistas į šią pusę, yra 2 (cm) ilgio. Raskite rombo plotą S S S.

Sprendimas

A=5 a=5 a =5
h = 2 h = 2 h =2

Mes naudojame formulę ir apskaičiuojame:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S = a\cdot h = 5\cdot 2 = 10S =a ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (žr. kv.)

Atsakymas: 10 cm kvadratas

Rombo ploto formulė įstrižainėmis

Čia viskas taip pat paprasta. Jums tereikia paimti pusę įstrižainių sandaugos ir gauti plotą.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S =2 1 ⋅ d 1 ⋅ d 2

D 1 , d 2 d_1, d_2 d 1 , d 2 - rombo įstrižainės.

Pavyzdys

Viena iš rombo įstrižainių yra 7 (žr.), o kita – 2 kartus didesnė už pirmąją. Raskite figūros plotą.

Sprendimas

D1=7 d_1=7 d 1 = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2 = 2\cdot d_1d 2 = 2 ⋅ d 1

Raskime antrąją įstrižainę:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 1 4
Tada sritis:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S =2 1 ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (žr. kv.)

Atsakymas: 49 cm kv.

Rombo ploto formulė pagal dvi puses ir kampą tarp jų

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S = a^2\cdot\sin(\alpha)S =a 2 ⋅ nuodėmė (α)

A a a- rombo pusė;
α\alfa α - bet kuris rombo kampas.

Pavyzdys

Raskite rombo plotą, jei kiekviena jo kraštinė yra 10 cm, o kampas tarp dviejų gretimų kraštinių yra 30 laipsnių.

Sprendimas

A=10 a=10 a =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Pagal formulę gauname:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S = a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= penkiasdešimtS =a 2 ⋅ sin(α) =1 0 0 ⋅ nuodėmė (3 0 ∘ ) = 5 0 (žr. kv.)

Atsakymas: 50 cm kv.

Rombo ploto formulė, atsižvelgiant į įbrėžto apskritimo spindulį ir kampą

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S =nuodėmė (α)4 ⋅ r 2

R r r- įbrėžto apskritimo spindulys rombe;
α\alfa α - bet kuris rombo kampas.

Pavyzdys

Raskite rombo plotą, jei kampas tarp pagrindų yra 60 laipsnių, o įbrėžto apskritimo spindulys yra 4 (žr.).

Sprendimas

R = 4 r = 4 r=4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73,9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\approx73.9S =nuodėmė (α)4 ⋅ r 2 = nuodėmė (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ≈ 7 3 . 9 (žr. kv.)

Atsakymas: 73,9 cm kv.