- Bu, piramidin tabanı ve ona paralel bir bölümden oluşan bir çokyüzlüdür. Kesik bir piramidin, üstü kesilmiş bir piramit olduğunu söyleyebiliriz. Bu rakamın birçok benzersiz özelliği var:

Piramidin yan yüzleri yamuktur;
Düzenli bir kesik piramidin yan kenarları aynı uzunluktadır ve tabana aynı açıda eğimlidir;
Tabanlar benzer çokgenlerdir;
Düzenli bir kesik piramitte, yüzler, alanı eşit olan özdeş ikizkenar yamuklardır. Ayrıca tabana bir açıyla eğimlidirler.

Kesik bir piramidin yan yüzeyinin alanı için formül, kenarlarının alanlarının toplamıdır:

Kesik piramidin kenarları yamuk olduğundan, parametreleri hesaplamak için formülü kullanmanız gerekecektir. yamuk alanı. Düzenli bir kesik piramit için, alanı hesaplamak için başka bir formül uygulanabilir. Tabandaki tüm kenarları, yüzleri ve açıları eşit olduğundan, tabanın ve apothemin çevrelerini uygulamak ve ayrıca alanı tabandaki açıdan elde etmek mümkündür.

Düzgün bir kesik piramidin şartlarına göre, deyim (kenar yüksekliği) ve tabanın kenar uzunlukları verilirse, alan, çevrelerinin toplamının yarı çarpımı ile hesaplanabilir. üsler ve özlü söz:

Kesik bir piramidin yan yüzey alanını hesaplama örneğine bakalım.
Düzenli bir beşgen piramit verildi. özlü söz ben\u003d 5 cm, büyük tabandaki yüzün uzunluğu a\u003d 6 cm ve yüz daha küçük tabanda b\u003d 4 cm Kesilmiş piramidin alanını hesaplayın.

İlk olarak, üslerin çevrelerini bulalım. Bize beşgen bir piramit verildiğinden, tabanların beşgen olduğunu anlıyoruz. Bu, tabanların beş özdeş tarafı olan bir şekil olduğu anlamına gelir. Daha büyük tabanın çevresini bulun:

Aynı şekilde, daha küçük tabanın çevresini de buluruz:

Şimdi düzenli bir kesik piramidin alanını hesaplayabiliriz. Formüldeki verileri değiştiriyoruz:

Böylece, düzenli bir kesik piramidin alanını çevreler ve özdeyiş boyunca hesapladık.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın başka bir yolu da formüldür. tabandaki köşeler ve bu tabanların alanı.

Örnek bir hesaplamaya bakalım. Bu formülün yalnızca normal bir kesik piramit için geçerli olduğunu unutmayın.

Düzgün bir dörtgen piramit verilsin. Alt tabanın yüzü a = 6 cm ve üst tabanın yüzü b = 4 cm'dir Tabandaki dihedral açı β = 60°'dir. Düzenli bir kesik piramidin yan yüzey alanını bulun.

Öncelikle üslerin alanını hesaplayalım. Piramit düzgün olduğundan tabanların tüm yüzleri birbirine eşittir. Tabanın bir dörtgen olduğu göz önüne alındığında, hesaplamanın gerekli olacağını anlıyoruz. kare alan. Genişlik ve uzunluğun çarpımıdır ancak karesi alındığında bu değerler aynıdır. Daha büyük tabanın alanını bulun:

Şimdi yan yüzey alanını hesaplamak için bulunan değerleri kullanıyoruz.

Birkaç basit formülü bilerek, kesik bir piramidin yanal yamuğunun alanını çeşitli değerlerle kolayca hesapladık.

Piramit. kesik piramit

Piramit yüzlerinden biri çokgen olan çokyüzlü olarak adlandırılır ( temel ) ve diğer tüm yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). piramit denir doğru , tabanı düzenli bir çokgen ise ve piramidin tepesi tabanın merkezine yansıtılırsa (Şek. 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramit denir tetrahedron .

yan kaburga piramit, yan yüzün tabana ait olmayan tarafına denir. Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine olan mesafedir. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları birbirine eşittir, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Köşeden çizilen düzgün bir piramidin yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz . diyagonal bölüm Piramidin bir bölümüne, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzlem denir.

Yan yüzey alanı piramit, tüm yan yüzlerin alanlarının toplamı olarak adlandırılır. Tam yüzey alanı tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamıdır.

teoremler

1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, piramidin tepesi, tabanın yakınındaki çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.

2. Bir piramitte tüm yan kenarların uzunlukları eşitse, piramidin tepesi, tabanın yakınında çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.

3. Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için formül doğrudur:

nerede V- Ses;

S ana- taban alanı;

H piramidin yüksekliğidir.

Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:

nerede p- tabanın çevresi;

bir- özlü söz;

H- yükseklik;

S dolu

S tarafı

S ana- taban alanı;

V düzgün bir piramidin hacmidir.

kesik piramit taban ile piramidin tabanına paralel olan kesme düzlemi arasında kalan piramidin parçası olarak adlandırılır (Şekil 17). Doğru kesilmiş piramit Taban ile piramidin tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında kalan, düzgün piramidin parçası olarak adlandırılır.

Vakıflar kesik piramit - benzer çokgenler. yan yüzler - yamuk. Yükseklik kesik piramit, tabanları arasındaki mesafe olarak adlandırılır. Diyagonal Kesik bir piramit, aynı yüzde yer almayan köşelerini birleştiren bir segmenttir. diyagonal bölüm Kesik bir piramidin bir bölümüne, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlem denir.

Kesik bir piramit için formüller geçerlidir:

(4)

nerede S 1 , S 2 - üst ve alt tabanların alanları;

S dolu toplam yüzey alanıdır;

S tarafı yan yüzey alanıdır;

H- yükseklik;

V kesik piramidin hacmidir.

Düzenli bir kesik piramit için aşağıdaki formül doğrudur:

nerede p 1 , p 2 - taban çevreleri;

bir- düzenli bir kesik piramidin özü.

örnek 1 Düzgün üçgen piramitlerde tabandaki dihedral açı 60º'dir. Yan kenarın taban düzlemine eğim açısının tanjantını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 18).

Piramit düzenlidir, bu, tabanın bir eşkenar üçgen olduğu ve tüm yan yüzlerin eşit ikizkenar üçgenler olduğu anlamına gelir. Tabandaki dihedral açı, piramidin yan yüzünün taban düzlemine olan eğim açısıdır. Doğrusal açı açı olacaktır a iki dikme arasında: yani. Piramidin tepesi üçgenin merkezine yansıtılır (sınırlandırılmış dairenin merkezi ve üçgendeki yazılı daire ABC). Yan nervürün eğim açısı (örneğin SB) kenarın kendisi ile taban düzlemine izdüşümü arasındaki açıdır. kaburga için SB bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir. BÖYLE ve OB. Segmentin uzunluğu olsun BD 3 a. nokta Öçizgi segmenti BD parçalara ayrılır: ve BÖYLE: Bulduğumuz:

Cevap:

Örnek 2 Tabanlarının köşegenleri cm ve cm ve yüksekliği 4 cm ise düzgün bir kesik dörtgen piramidin hacmini bulun.

Çözüm. Kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanlarını bulmak için köşegenlerini bilerek taban karelerinin kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'dir Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve Tüm verileri formüle koyarak, kesilmiş piramidin hacmini hesaplarız:

Cevap: 112 cm3.

Örnek 3 Tabanlarının kenarları 10 cm ve 4 cm olan ve piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün bir üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 19).

Bu piramidin yan yüzü bir ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanları ve yüksekliği bilmeniz gerekir. Bazlar duruma göre verilmiştir, sadece yükseklik bilinmemektedir. Nereden bul ANCAK 1 E bir noktadan dik ANCAK 1 alt tabanın düzleminde, A 1 D- dik ANCAK 1 AC. ANCAK 1 E\u003d 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak için DEüstten görünümü göstereceğimiz ek bir çizim yapacağız (Şek. 20). Nokta Ö- üst ve alt tabanların merkezlerinin izdüşümü. beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM yazılı dairenin yarıçapı ve OM yazılı dairenin yarıçapı:

MK=DE.

Pisagor teoremine göre

Yan yüz alanı:

Cevap:

Örnek 4 Piramidin tabanında, tabanları olan bir ikizkenar yamuk bulunur. a ve b (a> b). Her bir yan yüz, piramidin tabanının düzlemine eşit bir açı oluşturur. j. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşittir ABCD.

Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktası tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır ifadesini kullanalım. Nokta Ö- köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin ortogonal izdüşümüdür CSD taban düzlemine. Düz bir figürün ortogonal izdüşümü alanındaki teoreme göre şunları elde ederiz:

Benzer şekilde, şu anlama gelir Böylece sorun yamuğun alanını bulmaya indirgendi. ABCD. Bir yamuk çiz ABCD ayrı olarak (Şek. 22). Nokta Ö yamukta yazılı bir dairenin merkezidir.

Bir daire bir yamuğun içine yazılabileceğinden, o zaman veya Pisagor teoremine göre

Bir diziyi çözerken uzamsal figürlerin hacmini hesaplama yeteneği önemlidir. pratik görevler geometri ile. En yaygın şekillerden biri piramittir. Bu yazıda hem tam hem de kesik piramitleri ele alacağız.

Üç boyutlu bir figür olarak piramit

Herkes Mısır piramitlerini biliyor, bu yüzden hangi figürün tartışılacağına dair iyi bir fikre sahipler. Bununla birlikte, Mısır taş yapıları, büyük bir piramit sınıfının yalnızca özel bir durumudur.

Genel durumda incelenen geometrik nesne, her bir köşesi uzayda taban düzlemine ait olmayan bir noktaya bağlı olan çokgen bir tabandır. Bu tanım bir n-gon ve n üçgenden oluşan bir şekle götürür.

Herhangi bir piramit n+1 yüz, 2*n kenar ve n+1 köşeden oluşur. İncelenen şekil mükemmel bir çokyüzlü olduğundan, işaretli elemanların sayısı Euler denklemine uyar:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Tabanda bulunan çokgen, piramidin adını verir, örneğin üçgen, beşgen vb. Aşağıdaki fotoğrafta farklı tabanlara sahip bir dizi piramit gösterilmektedir.

Şeklin n üçgeninin birleştiği noktaya piramidin tepesi denir. Bir dik ondan tabana indirilirse ve onu geometrik merkezde keserse, böyle bir şekle düz çizgi denir. Bu koşul sağlanmazsa, eğimli bir piramit vardır.

Tabanı bir eşkenar (eş köşeli) n-gon tarafından oluşturulan düz bir şekle düzenli denir.

Piramit hacim formülü

Piramidin hacmini hesaplamak için integral hesabını kullanırız. Bunu yapmak için, şekli tabana paralel kesen düzlemlerle sonsuz sayıda ince katmana böleriz. Aşağıdaki şekil, h yüksekliğinde ve L kenar uzunluğunda, ince bir kesit katmanının bir dörtgen ile işaretlendiği dörtgen bir piramidi göstermektedir.

Bu tür her katmanın alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Burada A 0 tabanın alanıdır, z dikey koordinatın değeridir. z = 0 ise formülün A 0 değerini verdiği görülebilir.

Piramidin hacminin formülünü elde etmek için, şeklin tüm yüksekliği boyunca integrali hesaplamanız gerekir, yani:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

A(z) bağımlılığını değiştirerek ve ters türevi hesaplayarak şu ifadeye ulaşırız:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Piramidin hacim formülünü elde ettik. V'nin değerini bulmak için, şeklin yüksekliğini taban alanıyla çarpmak ve ardından sonucu üçe bölmek yeterlidir.

Ortaya çıkan ifadenin keyfi bir piramidin hacmini hesaplamak için geçerli olduğuna dikkat edin. Yani, eğimli olabilir ve tabanı keyfi bir n-gon olabilir.

ve hacmi

Yukarıdaki paragrafta elde edilen hacim için genel formül, düzgün tabanlı bir piramit durumunda düzeltilebilir. Böyle bir tabanın alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Burada L, n köşeli düzgün bir çokgenin kenar uzunluğudur. Pi sembolü pi sayısıdır.

A 0 ifadesini genel formülde değiştirerek, normal bir piramidin hacmini elde ederiz:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Örneğin, üçgen bir piramit için bu formül aşağıdaki ifadeye yol açar:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * s * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * s.

Düzenli bir dörtgen piramit için hacim formülü şu şekildedir:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * s * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * s.

Düzenli piramitlerin hacimlerini belirlemek, tabanlarının kenarını ve şeklin yüksekliğini bilmeyi gerektirir.

Piramit kesilmiş

Diyelim ki keyfi bir piramit aldık ve tepe noktasını içeren yan yüzeyinin bir kısmını kestik. Kalan şekle kesik piramit denir. Zaten iki n köşeli tabandan ve bunları birbirine bağlayan n yamuktan oluşuyor. Kesme düzlemi şeklin tabanına paralel ise, paralel benzer tabanlarla kesilmiş bir piramit oluşturulur. Yani, birinin kenar uzunlukları, diğerinin uzunlukları bir k katsayısı ile çarpılarak elde edilebilir.

Yukarıdaki şekil kesik düzgün bir tanesini göstermektedir.Üst tabanının alttaki gibi düzgün bir altıgenden oluştuğu görülebilir.

Yukarıdakine benzer bir integral hesabı kullanılarak türetilebilecek formül:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

A 0 ve A 1 sırasıyla alt (büyük) ve üst (küçük) tabanların alanlarıdır. h değişkeni, kesik piramidin yüksekliğini belirtir.

Cheops piramidinin hacmi

En büyük Mısır piramidinin içerdiği hacmi belirleme problemini çözmek merak uyandırıyor.

1984'te İngiliz Mısırbilimciler Mark Lehner ve Jon Goodman, Cheops piramidinin tam boyutlarını belirlediler. Orijinal yüksekliği 146.50 metre (şu anda yaklaşık 137 metre) idi. Yapının dört tarafının her birinin ortalama uzunluğu 230.363 metre idi. Piramidin tabanı yüksek hassasiyet karedir.

Bu taş devin hacmini belirlemek için verilen rakamları kullanalım. Piramit normal bir dörtgen olduğundan, formül bunun için geçerlidir:

Rakamları takarak şunu elde ederiz:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m3.

Cheops piramidinin hacmi neredeyse 2,6 milyon m3'tür. Karşılaştırma için, olimpik havuzun 2,5 bin m3 hacme sahip olduğunu not ediyoruz. Yani, Cheops piramidinin tamamını doldurmak için 1000'den fazla havuza ihtiyaç duyulacak!

22.09.2014
Çalışma prensibi. SA1 kodunun ilk hanesinin düğmesine basıldığında, DD1.1 tetiği değişecek ve DD1.2 tetiğinin D girişinde yüksek seviyeli bir voltaj görünecektir. Bu nedenle, SA2 kodunun sonraki düğmesine bastığınızda, DD1.2 tetikleyicisi durumunu değiştirir ve sonraki tetikleyiciyi geçiş için hazırlar. devamı halinde doğru küme DD2.2 tetikleyicisi en son tetiklenir ve...
03.10.2014
Önerilen cihaz, kısa devre koruması ile 24V'a kadar voltajı ve 2A'ya kadar akımı stabilize eder. Stabilizatörün kararsız bir şekilde başlatılması durumunda, otonom bir puls üretecinden senkronizasyon kullanılmalıdır (Şek. 2. Stabilizatör devresi Şekil 1'de gösterilmiştir. VT1 VT2'ye, güçlü bir düzenleyici transistör VT3'ü kontrol eden bir Schmitt tetikleyici monte edilmiştir. Ayrıntılar: VT3, bir ısı emici ile donatılmıştır ...
20.09.2014
Amplifikatör (resme bakın), lambalarda otomatik önyargılı geleneksel şemaya göre yapılır: çıkış - AL5, sürücüler - 6G7, kenotron - AZ1. Stereo amplifikatörün iki kanalından birinin diyagramı Şekil 1'de gösterilmektedir. Ses kontrolünden, sinyal 6G7 lambasının ızgarasına girer, yükseltilir ve bu lambanın anotundan izolasyon kapasitörü C4 aracılığıyla ...
15.11.2017
NE555 - evrensel zamanlayıcı - kararlı zaman özelliklerine sahip tek ve tekrarlayan darbelerin oluşumu (üretimi) için bir cihaz. Belirli giriş eşikleri, kesin olarak tanımlanmış analog karşılaştırıcılar ve yerleşik bir voltaj bölücü (RS flip-flop ile hassas Schmitt tetikleyici) olan bir asenkron RS flip-flop'tur. Çeşitli jeneratörler, modülatörler, zaman röleleri, eşik cihazları ve diğerleri oluşturmak için kullanılır ...