- Tai daugiakampis, sudarytas iš piramidės pagrindo ir jam lygiagrečios atkarpos. Galima sakyti, kad nupjauta piramidė yra piramidė su nupjauta viršūne. Ši figūra turi daug unikalių savybių:

Piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos;
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai šonkauliai yra vienodo ilgio ir pasvirę į pagrindą tokiu pat kampu;
Pagrindai yra panašūs daugiakampiai;
Taisyklingoje nupjautoje piramidėje veidai yra identiškos lygiašonės trapecijos, kurių plotas yra lygus. Jie taip pat yra pasvirę į pagrindą vienu kampu.

Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos kraštinių plotų suma:

Kadangi nupjautos piramidės kraštinės yra trapecijos, parametrams apskaičiuoti turėsite naudoti formulę trapecijos plotas. Įprastai nupjautai piramidei galima taikyti kitą ploto skaičiavimo formulę. Kadangi visos jo kraštinės, paviršiai ir kampai prie pagrindo yra lygūs, galima taikyti pagrindo ir apotemos perimetrus, taip pat išvesti plotą per kampą prie pagrindo.

Jei pagal sąlygas taisyklingoje nupjautinėje piramidėje pateikiamas apotemas (kraštinės aukštis) ir pagrindo kraštinių ilgiai, tai plotas gali būti apskaičiuojamas per perimetrų sumos pusgaminį. bazės ir apotemas:

Pažvelkime į nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Duota taisyklinga penkiakampė piramidė. Apotema l\u003d 5 cm, veido ilgis dideliame pagrinde yra a\u003d 6 cm, o veidas yra mažesniame pagrinde b\u003d 4 cm. Apskaičiuokite nupjautinės piramidės plotą.

Pirma, suraskime pagrindų perimetrus. Kadangi mums duota penkiakampė piramidė, suprantame, kad pagrindai yra penkiakampiai. Tai reiškia, kad pagrindai yra figūra su penkiomis identiškomis kraštinėmis. Raskite didesnio pagrindo perimetrą:

Tuo pačiu būdu randame mažesnio pagrindo perimetrą:

Dabar galime apskaičiuoti taisyklingos nupjautos piramidės plotą. Duomenis pakeičiame formulėje:

Taigi, mes apskaičiavome taisyklingos nupjautos piramidės plotą per perimetrus ir apotemą.

Kitas būdas apskaičiuoti taisyklingos piramidės šoninį paviršiaus plotą yra formulė per kampus prie pagrindo ir šių pačių pagrindų plotą.

Pažvelkime į skaičiavimo pavyzdį. Atminkite, kad ši formulė taikoma tik taisyklingai nupjautai piramidei.

Tegu yra taisyklinga keturkampė piramidė. Apatinio pagrindo paviršius a = 6 cm, o viršutinio b = 4 cm. Dvikampis kampas prie pagrindo yra β = 60°. Raskite taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą. Kadangi piramidė yra taisyklinga, visi pagrindų paviršiai yra lygūs vienas kitam. Atsižvelgiant į tai, kad pagrindas yra keturkampis, suprantame, kad reikės skaičiuoti kvadratinis plotas. Tai yra pločio ir ilgio sandauga, tačiau kvadratu šios reikšmės yra vienodos. Raskite didesnio pagrindo plotą:

Dabar mes naudojame rastas vertes šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti.

Žinodami keletą paprastų formulių, mes lengvai apskaičiavome nupjautos piramidės šoninės trapecijos plotą pagal įvairias reikšmes.

Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidė vadinama šoninio paviršiaus puse, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotema . įstrižainė Piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė vadinama visų šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršiaus plotas yra visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į šalia pagrindo esančio apskritimo centrą.

2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, esančio šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, formulė yra teisinga:

kur V- tūris;

S pagrindinis- bazinis plotas;

H yra piramidės aukštis.

Įprastai piramidei galioja šios formulės:

kur p- pagrindo perimetras;

h a- apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S pagrindinis- bazinis plotas;

V yra taisyklingos piramidės tūris.

nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagreti piramidės pagrindui (17 pav.). Teisinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Pamatai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai - trapecijos formos. Aukštis Nupjauta piramidė vadinamas atstumu tarp jos pagrindų. Įstrižainė Nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. įstrižainė Nupjautos piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja formulės:

(4)

kur S 1 , S 2 - viršutinio ir apatinio pagrindo sritys;

S pilnas yra bendras paviršiaus plotas;

S pusė yra šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V yra nupjautinės piramidės tūris.

Įprastai sutrumpintai piramidei galioja ši formulė:

kur p 1 , p 2 - baziniai perimetrai;

h a- taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

1 pavyzdys Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad pagrindas yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas bus kampas a tarp dviejų statmenų: t.y. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apibrėžtojo apskritimo centras ir įbrėžtas apskritimas trikampyje ABC). Šoninio šonkaulio pasvirimo kampas (pvz SB) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindinę plokštumą. Dėl šonkaulio SBšis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP ir OB. Tegul segmento ilgis BD yra 3 a. taškas O linijos segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės yra cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norint rasti pagrindų plotus, reikia rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai 2 cm ir 8 cm Tai reiškia pagrindų plotus ir Pakeitę visus duomenis į formulę, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindus ir aukštį. Pagrindai pateikti pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Surask iš kur BET 1 E statmenai nuo taško BET 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D- statmenai nuo BET 1 ant AC. BET 1 E\u003d 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Už radimą DE darysime papildomą brėžinį, kuriame pavaizduosime vaizdą iš viršaus (20 pav.). Taškas O- viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai yra įbrėžto apskritimo spindulys ir OM yra įbrėžto apskritimo spindulys:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai a ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD yra lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Panaudokime teiginį, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas O- viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį bazinę plokštumą. Pagal teoremą apie plokščios figūros ortogonaliosios projekcijos plotą gauname:

Panašiai tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubrėžkite trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas O yra į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Pagal Pitagoro teoremą turime

Sprendžiant eilutę svarbi galimybė apskaičiuoti erdvinių figūrų tūrį praktines užduotis pagal geometriją. Viena iš labiausiai paplitusių formų yra piramidė. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime piramides, tiek pilnas, tiek sutrumpintas.

Piramidė kaip trimatė figūra

Visi žino apie Egipto piramides, todėl puikiai supranta, kokia figūra bus aptariama. Nepaisant to, Egipto akmens konstrukcijos yra tik ypatingas didžiulės piramidžių klasės atvejis.

Bendruoju atveju nagrinėjamas geometrinis objektas yra daugiakampis pagrindas, kurio kiekviena viršūnė yra sujungta su kokiu nors pagrindinei plokštumai nepriklausančiu erdvės tašku. Šis apibrėžimas veda į figūrą, susidedančią iš vieno n kampo ir n trikampių.

Bet kuri piramidė susideda iš n+1 paviršių, 2*n briaunų ir n+1 viršūnių. Kadangi nagrinėjama figūra yra tobulas daugiakampis, pažymėtų elementų skaičiai paklūsta Eulerio lygčiai:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Daugiakampis, esantis prie pagrindo, suteikia piramidės pavadinimą, pavyzdžiui, trikampis, penkiakampis ir pan. Piramidžių rinkinys su skirtingais pagrindais parodytas žemiau esančioje nuotraukoje.

Taškas, kuriame sujungti n figūros trikampiai, vadinamas piramidės viršūne. Jei statmenas nuleistas nuo jo iki pagrindo ir jis kerta jį geometriniame centre, tada tokia figūra bus vadinama tiesia linija. Jei ši sąlyga neįvykdyta, yra pasvirusi piramidė.

Tiesi figūra, kurios pagrindą sudaro lygiakraštis (lygiakampis) n-kampis, vadinama taisyklingu.

Piramidės tūrio formulė

Piramidės tūriui apskaičiuoti naudojame integralinį skaičiavimą. Norėdami tai padaryti, padalijame figūrą sekantinėmis plokštumomis, lygiagrečiomis pagrindui, į begalinį skaičių plonų sluoksnių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė piramidė, kurios aukštis h ir kraštinės ilgis L, kurioje plonas pjūvio sluoksnis pažymėtas keturkampiu.

Kiekvieno tokio sluoksnio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Čia A 0 yra pagrindo plotas, z yra vertikalios koordinatės reikšmė. Matyti, kad jei z = 0, tai formulė suteikia reikšmę A 0 .

Norėdami gauti piramidės tūrio formulę, turėtumėte apskaičiuoti integralą per visą figūros aukštį, tai yra:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Pakeitę priklausomybę A(z) ir apskaičiavę antidarinį, gauname išraišką:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Gavome piramidės tūrio formulę. Norint rasti V reikšmę, pakanka padauginti figūros aukštį iš pagrindo ploto, o tada padalyti rezultatą iš trijų.

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška galioja apskaičiuojant savavališko tipo piramidės tūrį. Tai yra, jis gali būti pasviręs, o jo pagrindas gali būti savavališkas n-kampis.

ir jo apimtis

Pirmiau pateiktoje pastraipoje gautą bendrąją tūrio formulę galima patikslinti piramidės su įprastu pagrindu atveju. Tokio pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Čia L yra taisyklingo daugiakampio su n viršūnių kraštinės ilgis. Simbolis pi yra skaičius pi.

Pakeitę A 0 išraišką į bendrą formulę, gauname taisyklingos piramidės tūrį:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Pavyzdžiui, trikampei piramidei ši formulė lemia tokią išraišką:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √ 3 / 12 * L 2 * h.

Įprastos keturkampės piramidės tūrio formulė yra tokia:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Norint nustatyti taisyklingų piramidžių tūrius, reikia žinoti jų pagrindo kraštą ir figūros aukštį.

Piramidė sutrumpinta

Tarkime, kad paėmėme savavališką piramidę ir nupjovėme jos šoninio paviršiaus dalį, kurioje yra viršūnė. Likusi figūra vadinama nupjautąja piramide. Jį jau sudaro du n kampų pagrindai ir n juos jungiančios trapecijos. Jei pjovimo plokštuma buvo lygiagreti figūros pagrindui, tada formuojama nupjauta piramidė su lygiagrečiomis panašiomis bazėmis. Tai yra, vienos iš jų kraštinių ilgius galima gauti padauginus kito ilgius iš kokio nors koeficiento k.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas nupjautas taisyklingas.Matyti, kad jo viršutinis pagrindas, kaip ir apatinis, suformuotas taisyklingo šešiakampio.

Formulė, kurią galima gauti naudojant integralinį skaičiavimą, panašų į aukščiau pateiktą, yra:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kur A 0 ir A 1 yra atitinkamai apatinių (didelių) ir viršutinių (mažų) bazių plotai. Kintamasis h reiškia nupjautinės piramidės aukštį.

Cheopso piramidės tūris

Įdomu išspręsti didžiausios Egipto piramidės tūrio nustatymo problemą.

1984 metais britų egiptologai Markas Lehneris ir Jonas Goodmanas nustatė tikslius Cheopso piramidės matmenis. Pradinis jo aukštis buvo 146,50 metro (šiuo metu apie 137 metrai). Vidutinis kiekvienos iš keturių konstrukcijos pusių ilgis buvo 230 363 metro. Piramidės pagrindas didelis tikslumas yra kvadratas.

Naudokime pateiktus skaičius šio akmens milžino tūriui nustatyti. Kadangi piramidė yra taisyklinga keturkampė, tada jai galioja formulė:

Sujungę skaičius, gauname:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopso piramidės tūris yra beveik 2,6 milijono m 3. Palyginimui pažymime, kad olimpinio baseino tūris yra 2,5 tūkst. Tai yra, norint užpildyti visą Cheopso piramidę, prireiks daugiau nei 1000 tokių baseinų!

22.09.2014
Veikimo principas. Paspaudus kodo SA1 pirmojo skaitmens mygtuką, trigeris DD1.1 persijungs ir trigerio DD1.2 įėjime D atsiras aukšto lygio įtampa. Todėl paspaudus kitą kodo SA2 mygtuką, trigeris DD1.2 pakeičia savo būseną ir paruošia kitą trigerį perjungimui. Esant tolesniam teisingas rinkinys DD2.2 paleidiklis suveikia paskutinis ir...
03.10.2014
Siūlomas įrenginys stabilizuoja įtampą iki 24V ir srovę iki 2A su apsauga nuo trumpojo jungimo. Nestabilios stabilizatoriaus paleidimo atveju turėtų būti naudojamas sinchronizavimas iš autonominio impulsų generatoriaus (1 pav.). 2. Stabilizatoriaus grandinė parodyta 1 pav. Ant VT1 VT2 sumontuotas Schmitt trigeris, kuris valdo galingą reguliavimo tranzistorių VT3. Išsami informacija: VT3 yra su šilumos šalintuvu ...
20.09.2014
Stiprintuvas (žr. nuotrauką) pagamintas pagal tradicinę schemą su automatiniu lempų poslinkiu: išėjimas - AL5, tvarkyklės - 6G7, kenotron - AZ1. Vieno iš dviejų stereo stiprintuvo kanalų schema parodyta 1 pav. Iš garsumo valdiklio signalas patenka į 6G7 lempos tinklelį, sustiprinamas, o iš šios lempos anodo per izoliacinį kondensatorių C4 tiekiamas į ...
15.11.2017
NE555 - universalus laikmatis - įrenginys, skirtas formuoti (generuoti) pavienius ir pasikartojančius impulsus su stabiliomis laiko charakteristikomis. Tai asinchroninis RS flip-flop su specifiniais įvesties slenksčiais, tiksliai apibrėžtais analoginiais komparatoriais ir įmontuotu įtampos dalikliu (tikslus Schmitt trigeris su RS flip-flop). Jis naudojamas įvairių generatorių, moduliatorių, laiko relių, slenkstinių įtaisų ir kt.